Aufgaben
1.2
a)
$$ \begin{array} { l l } { y _ { 1 } ( t ) = A \sin \omega t = A \cos ( \omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ( t ) = B \cos \omega t = B \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) = A\cdot \omega\cdot \cos \omega t = -A\cdot \omega\cdot \sin (\omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) = - B\cdot \omega \sin \omega t = - B\cdot \omega \cos (\omega t+\frac{\pi}{2})) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( t ) = -A\cdot \omega^2\cdot \sin \omega t = -A\cdot \omega^2\cdot \cos ( \omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( t ) = - B\cdot \omega^2 \cos \omega t = - B\cdot \omega^2 \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) = -A\cdot \omega^3\cdot \cos \omega t = -A\cdot \omega^3\cdot \sin ( \omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) = B\cdot \omega^3 \sin \omega t = B\cdot \omega^3 \cos (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime \prime} ( t ) = A\cdot \omega^4\cdot \sin \omega t = A\cdot \omega^4\cdot \cos (\omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime \prime } ( t ) = B\cdot \omega^4 \cos \omega t = B\cdot \omega^4 \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \end{array} $$$$ y _ { 1 } ^ { ( n ) } ( t ) = A\cdot \omega^n \cdot \sin ( \omega t+n*\frac{\pi}{2}) = A\cdot \omega^n \cdot \cos ( \omega t+(n-1)*\frac{\pi}{2})$$ $$y _ { 2 } ^ { ( n ) } ( t ) = A\cdot \omega^n \cdot \cos ( \omega t+n*\frac{\pi}{2}) = A\cdot \omega^n \cdot \sin ( \omega t+(n+1)*\frac{\pi}{2}) $$
Einheitskreis dargestellt mit GeoGebra
c)
$\begin{array} { l } u ( t ) = \hat{U} \cdot \sin ( \omega t + \rho _ { 0 } )\\ u ( 0 ) = 2\\ u ( 22 ) = 8 \\ 2 = \hat{U} \cdot \sin (\rho _ { 0 }) \\ u=\frac{2}{sin(\rho_0 )}\\ 8 = \hat{U} \cdot \sin ( \omega \cdot 22 + \rho _ { 0 } )\\ 8=\frac{2}{sin(\rho_0 )}\cdot \sin ( \omega \cdot 22 + \rho _ { 0 } )\\ \omega =\frac { 2 \pi } { 20 } = \frac { \pi } { 10 }\\ 8=\frac{2}{sin(\rho_0 )}\cdot \sin ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22 + \rho _ { 0 })\\ 8=2*\frac{\sin ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22)*\cos ( \rho _ { 0 })+\cos ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22)*\sin (\rho _ { 0 })} {sin(\rho_0 )} \\ 8=2*\frac{\sin ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22)*\cos ( \rho _ { 0 })}{sin(\rho_0 )}+\cos ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22) \\ \rho _ { 0 }=0.18216\\ \hat{U}=11.0403\\\\ u ( t ) = 11.0403 \cdot \sin ( \frac { \pi } { 10 } t + 0.18216 )\\ \end{array} $
1.3
a)
$$ u ( t ) = A \sin \left( \omega t + \varphi _ { 1 } \right) + B \sin \left( \omega t + \varphi _ { 2 } \right) = C \sin ( \omega t + \Phi ) $$ $\begin{array} { l } =100 V \sin \omega t + 40 V \sin \left( \omega t + \frac { 3 \pi } { 2 } \right)\\ =100 V \sin \omega t - 40 V \cos \left( \omega t \right)\\ x=100\\ y=-40\\ R = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ \phi = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right) \\ R=\sqrt {100^2+40^2}=107.703\\ \phi=\tan^{-1} (\frac{-40}{100})=-0.381\\\\ u ( t )=107.703\cdot \sin (\omega t -0.381) \end{array}$b)
Die neue Funktion u(t) aufgrund eines negativen Phasenwinkels rechtsseitig verschoben. Wir erhalten somit den eigentlichen Gegenwinkel, da meistens immer der kleinere Winkel von beiden angegeben wird. Die Funktion beginnt rechtsseitig, der y-Achse im 4. Quadranten.
1.4
a)
