Elektrotechnik und Systemtheorie Abgabe 1

Aufgaben

1.2

$$ \begin{array} { l l } { y _ { 1 } ( t ) = A \sin \omega t = A \cos ( \omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ( t ) = B \cos \omega t = B \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) = A\cdot \omega\cdot \cos \omega t = -A\cdot \omega\cdot \sin (\omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) = - B\cdot \omega \sin \omega t = - B\cdot \omega \cos (\omega t+\frac{\pi}{2})) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( t ) = -A\cdot \omega^2\cdot \sin \omega t = -A\cdot \omega^2\cdot \cos ( \omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( t ) = - B\cdot \omega^2 \cos \omega t = - B\cdot \omega^2 \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) = -A\cdot \omega^3\cdot \cos \omega t = -A\cdot \omega^3\cdot \sin ( \omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } ( t ) = B\cdot \omega^3 \sin \omega t = B\cdot \omega^3 \cos (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime \prime} ( t ) = A\cdot \omega^4\cdot \sin \omega t = A\cdot \omega^4\cdot \cos (\omega t-\frac{\pi}{2}) } & { y _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime \prime } ( t ) = B\cdot \omega^4 \cos \omega t = B\cdot \omega^4 \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}) } \end{array} $$$$ y _ { 1 } ^ { ( n ) } ( t ) = A\cdot \omega^n \cdot \sin ( \omega t+n*\frac{\pi}{2}) = A\cdot \omega^n \cdot \cos ( \omega t+(n-1)*\frac{\pi}{2})$$ $$y _ { 2 } ^ { ( n ) } ( t ) = A\cdot \omega^n \cdot \cos ( \omega t+n*\frac{\pi}{2}) = A\cdot \omega^n \cdot \sin ( \omega t+(n+1)*\frac{\pi}{2}) $$

y1(links) und y2(rechts) mit Ableitungen

Einheitskreis dargestellt mit GeoGebra

$\begin{array} { l } u ( t ) = \hat{U} \cdot \sin ( \omega t + \rho _ { 0 } )\\ u ( 0 ) = 2\\ u ( 22 ) = 8 \\ 2 = \hat{U} \cdot \sin (\rho _ { 0 }) \\ u=\frac{2}{sin(\rho_0 )}\\ 8 = \hat{U} \cdot \sin ( \omega \cdot 22 + \rho _ { 0 } )\\ 8=\frac{2}{sin(\rho_0 )}\cdot \sin ( \omega \cdot 22 + \rho _ { 0 } )\\ \omega =\frac { 2 \pi } { 20 } = \frac { \pi } { 10 }\\ 8=\frac{2}{sin(\rho_0 )}\cdot \sin ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22 + \rho _ { 0 })\\ 8=2*\frac{\sin ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22)*\cos ( \rho _ { 0 })+\cos ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22)*\sin (\rho _ { 0 })} {sin(\rho_0 )} \\ 8=2*\frac{\sin ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22)*\cos ( \rho _ { 0 })}{sin(\rho_0 )}+\cos ( \frac { \pi } { 10 } \cdot 22) \\ \rho _ { 0 }=0.18216\\ \hat{U}=11.0403\\\\ u ( t ) = 11.0403 \cdot \sin ( \frac { \pi } { 10 } t + 0.18216 )\\ \end{array} $

Funktion dargestellt im Koordinatensystem

1.3

$$ u ( t ) = A \sin \left( \omega t + \varphi _ { 1 } \right) + B \sin \left( \omega t + \varphi _ { 2 } \right) = C \sin ( \omega t + \Phi ) $$ $\begin{array} { l } =100 V \sin \omega t + 40 V \sin \left( \omega t + \frac { 3 \pi } { 2 } \right)\\ =100 V \sin \omega t - 40 V \cos \left( \omega t \right)\\ x=100\\ y=-40\\ R = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ \phi = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { y } { x } \right) \\ R=\sqrt {100^2+40^2}=107.703\\ \phi=\tan^{-1} (\frac{-40}{100})=-0.381\\\\ u ( t )=107.703\cdot \sin (\omega t -0.381) \end{array}$

Die neue Funktion u(t) aufgrund eines negativen Phasenwinkels rechtsseitig verschoben. Wir erhalten somit den eigentlichen Gegenwinkel, da meistens immer der kleinere Winkel von beiden angegeben wird. Die Funktion beginnt rechtsseitig, der y-Achse im 4. Quadranten.

Zeitfunktion und Zeigerdiagramm

1.4

Abbildung aus dem Übungsblatt mit Ergänzungen

$\begin{array}{l} z_1=\frac{\sqrt 2}{2}+j\cdot \frac{\sqrt 2}{2}\\ z_1=1(\cos(45°)+j\cdot \sin(45°)\\ z_1=1\cdot e^{j\cdot \frac{\pi}{4}}\\ \\ z_2=\frac{\sqrt 2}{2}-j\cdot \frac{\sqrt 2}{2}\\ z_2=1(\cos(-45°)+j\cdot \sin(-45°)\\ z_2=1\cdot e^{j\cdot -\frac{\pi}{4}}\\ \\ z_3=0-j\\ z_3=1(\cos(-90°)+j\cdot \sin(-90°)=-j\\ z_3=1\cdot e^{j\cdot -\frac{\pi}{2}}\\ \\ z_4=-\sqrt 2-j\cdot \sqrt 2\\ z_4=2(\cos(-135°)+j\cdot \sin(-135°)\\ z_4=2\cdot e^{j\cdot -\frac{3\pi}{4}}\\ \\ z _ { 1 } + z _ { 2 }=\sqrt 2\\ z _ { 1 } - z _ { 2 }=j\cdot \sqrt 2\\ z _ { 1 } \cdot z _ { 2 }=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\\ \frac { z _ { 1 } } { z _ { 2 } }=j\\ \end{array}$